Objetivos

Apresentar ao estudante, a nível introdutório, problemas da física matemática.

Ementa

A modelagem como simulação imperfeita da realidade. Modelos matemáticos: hipóteses de trabalho e limitações dos modelos. Modelos regidos por equações diferenciais ordinárias. Modelos regidos por equações a derivadas parciais elípticas, parabólicas ou hiperbólicas.

UNIDADE I

Modelos em geral: uma versão imperfeita da realidade.

O que é um modelo matemático? Hipóteses de trabalho e restrições dos modelos. O valor e as limitações dos testes praticados nos modelos. Quando um modelo é considerado ¿confiável¿ ?. Modelos empíricos e modelos teóricos. O que é um paradoxo e qual a sua função? O paradoxo de Galileu e o paradoxo de Einstein.

UNIDADE II

Modelos que podem ser formulados com o auxílio de equações diferenciais ordinárias.

A queda de um corpo sob ação da gravidade, suposta constante. A influência das forças de atrito. Diferentes aproximações para o caso da gravidade dependente da posição. Satélites geo-estacionários. O lançamento de um foguete terra-ar. Movimentos oscilatórios em meios elásticos de massa desprezível (o caso da mola). Oscilações em um meio viscoso. Movimento em três dimensões. A influência de um campo magnético sobre partículas com carga elétrica e suas conseqüências. Aplicações: o espectrógrafo de massas.

UNIDADE III

Modelos em uma dimensão que incorporam duas variáveis independentes.

Oscilações transversais e longitudinais (equações hiperbólicas). Dedução da equação da onda. Fórmula de para um meio infinito. Análise do perfil e da lei de movimento no caso de deformações e de distribuições iniciais de velocidade espacialmente localizadas. O meio semi-infinito, condições de fronteira. Oscilações em uma corda finita. O método de separação de variáveis. O problema de Dirichlet e o problema de Neumann. Freqüências naturais. A equação não homogênea e o fenômeno da ressonância. Introdução à delta de Dirac.

UNIDADE IV

Problemas físicos que conduzem a equações do tipo parabólico.

Dedução da equação do calor e da difusão. Formulação do problema com fronteiras e o método de separação de variáveis. A função de Green.

UNIDADE V

Modelos do Micro-mundo.

Postulados e fenômenos experimentais. Uma introdução à Análise Funcional: operadores hermiteanos e sua função na Mecânica Quântica. O problema de autovalores e autovetores. A equação de Schrödinger. Campos conservativos. Separação de variáveis e a Equação Estacionária de Schrödinger (uma equação elíptica). Abordagem do problema dependente do tempo.

Créditos

60 horas por semestre com 4,0 créditos.

Pré-Requisitos

Álgebra linear II (MAE 125) e Equações Diferenciais (MAE 127).

Bibliografia

• Tijonov & Samarsky; Equações da Física Matemática
• Churchill, R.; Operational Mathematics.