Ementa

I.INTRODUÇÃO

1.ESPAÇOS DE FUNÇÕES (2 horas)

Tipos de convergência de seqüências de funções: simples (qtp), uniforme, em média (L¹, L², L^p). Normas correspondentes. Inexistência de norma para a convergência simples. Teorema de Dini.

2.TEOREMA DE BAIRE (6 horas)

Exemplo de função contínua mas não diferenciável. Teorema de Baire e conseqüências. Densidade das funções não deriváveis entre as contínuas.

3.DIMENSÃO INFINITA (2 horas)

Existência de operadores lineares descontínuos. Não compacidade da bola unitária em espaços de dimensão infinita.

II.CONVERGÊNCIA UNIFORME

4.ESPAÇOS C^k (2 horas)

Norma C^k e completude de C^k.

5.APROXIMAÇÃO (4 horas)

Aproximações via convolução. Teorema de aproximação de Weierstrass.

6.COMPACIDADE (4 horas)

Eqüicontinuidade e o teorema de Arzelà-Ascoli. Teorema de existência de soluções de equações diferenciais ordinárias. Imersão compacta de C^k+1 em C^k.

III.CONVERGÊNCIA EM MÉDIA

7.ESPAÇOS L^p (4 horas)

Norma L^p e completude de L^p. Densidade das funções contínuas em L^p.

8.SÉRIES DE FOURIER (14 horas)

Espaço L². Sistemas ortonormais completos. Teorema de Fejer. Convergência L² das séries de Fourier. Convergência pontual. Espaços H^p. Imersão contínua de H^k+1 em C^k. Derivação termo a termo de séries de Fourier. Desigualdade de Poincaré-Friedrichs. Teorema de Fréchet-Kolmogórov. Imersão compacta de H¹ em L².

IV.TRANSFORMADAS

9.TRANSFORMADAS (4 horas)

Séries de potências e de Fourier como transformadas. Transformada de Laplace como generalização de séries de potências. Transformada de Fourier. Comportamento do operador de derivação sob as diversas transformadas.

10.TRANSFORMADA DE FOURIER (8 horas)

Transformada de Fourier de funções de decaimento rápido. Densidade das funções de decaimento rápido em L²(R), teorema de Plancherel.

Créditos

60 horas por semestre com 4,0 créditos

Pré-Requisitos

Análise Real I (MAE240).

Bibliografia

• NERI, Cassio; Curso de Análise Real; IM-UFRJ.
• Lima,E.L. Espaços Métricos