Título: Shadowing versus Finite Shadowing in Linear Dynamics.
06 de Setembro, às 15:15 p.m. (Rio de Janeiro local time)
Palestrante: Nilson C. Bernardes Jr
Local: Instituto de Matemática sala C-116
Resumo: The shadowing property is one of the most important concepts in the modern theory of dynamical systems and differential equations. It originated with works by Anosov, Bowen and Sina ̆ı from the late 1960s and early 1970s, leading to the famous shadowing lemma in differentiable dynamics, which asserts that a diffeomorphism has the shadowing property in a neighborhood of its hyperbolic set.
Given a discrete dynamical system (X, T) consisting of a metric space X and a map T : X → X, recall that a δ-pseudotrajectory of T, where δ > 0, is a finite or infinite sequence (xj)i<j<k in X (−∞ ≤ i < k ≤ ∞), with at least two terms, satisfying
d(Txj , xj+1) ≤ δ for all i < j < k − 1.
Recall also that T is said to have the finite shadowing property (resp. the positive shadowing property) if for every ε > 0, there exists δ > 0 such that every finite δ pseudotrajectory (xj)kj=0 (resp. every δ-pseudotrajectory (xj)j∈N0) of T is ε-shadowed by the trajectory of some x ∈ X, in the sense that
d(xj , Tjx) < ε for all j ∈ {0, . . . , k} (resp. for all j ∈ N0).
If T is bijective, then the shadowing property is defined by replacing the set N0 by the set Z in the definition of positive shadowing. In a certain sense, in a system with the shadowing property, computer-generated trajectories are close to real trajectories. From this computational point of view, the notion of finite shadowing seems to be even more relevant than shadowing, since computer-generated trajectories are actually finite pseudotrajectories.
It is well known that shadowing and finite shadowing coincide in the case of continuous maps on compact metric spaces, but this equivalence already fails on a certain locally compact subspace of the real line R [2].
Our goal is to investigate the possible equivalence between shadowing and finite shadowing in the setting of linear dynamics. Our main result asserts that the concepts of shadowing, positive shadowing and finite shadowing always coincide for invertible operators on Banach spaces. On the other hand, we exhibit examples showing that these three concepts may differ from one another in the case of the Fr ́echet space H(C) of all entire functions. Lecture based on Section 2 of the joint article [1] with Alfredo Peris.
[1] N. C. Bernardes Jr. and A. Peris, On shadowing and chain recurrence in linear dynamics,
Advances in Mathematics 441 (2024), Paper No. 109539, 46 pp.
[2] U. B. Darji, D. Gon ̧calves and M. Sobottka, Shadowing, finite order shifts and ultrametric
spaces, Advances in Mathematics 385 (2021), Paper No. 107760, 34 pp.
Título: Distância mínima entre órbitas
21 de junho, às 15:15 p.m. (Rio de Janeiro local time)
Palestrante: Manuel Stadlbauer
Local: Instituto de Matemática sala C-116
Transmissão Online: https://youtube.com/live/S-
Resumo: Uma motivação para estudar a distância mínima entre órbitas está relacionada à análise do DNA. Ou seja, busca-se uma resposta assintótica para a seguinte pergunta: Dadas duas palavras finitas aleatoriamente escolhidas em {A, C, G, T}, qual é o comprimento máximo de uma subpalavra comum?
Um modelo para este problema é dado por um endomorfismo T de um espaço métrico compacto (X,d), equipado com uma medida de probabilidade. Então, o
comportamento assintótico deste comprimento é dado pela assintótica de:
min{d(T^i x,T^j y):0<i,j<n}
Nesta palestra, discutiremos este problema no contexto de sistemas dinâmicos expansores determinísticos e aleatórios: se o sistema é suficientemente misturador, então o mínimo mostra um decaimento polinomial. Além disso, o expoente está relacionado a uma noção de dimensão do espaço ambiente. No caso de uma dinâmica aleatória, ainda ocorre uma transição de fase.
Trabalho realizado em colaboração com Jérôme Rousseau e Sébastien Gouëzel, publicado em Probability Theory & Related Fields no dia 11/5/24.
Palestra: Projeto Diff-Twins.
24 de maio, às 03:15 p.m. (Rio de Janeiro local time)
Palestrante: Fábio Ramos.
Local: Sala C116 - Bloco C - CT – Instituto de Matemática – UFRJ.
Transmissão Online: https://youtube.com/live/
Resumo: Esta palestra apresenta o projeto Diff-Twins, uma colaboração entre o Instituto de Matemática da Universidade Federal do Rio de Janeiro e a ExxonMobil. O foco é a aplicação de modelos generativos baseados em difusão para a reconstrução de meios porosos e para a previsão de sistemas oceanográficos que impactem as operações offshore da indústria de energia.
Título: Global dynamics for planar vector fields with a star node and homogeneous nonlinearities.
24 de maio, às 14:00 p.m. (Rio de Janeiro local time)
Palestrante: Begoña Alarcón (UFF)
Local: Salão Nobre da Decania do CCMN
Resumo: We study the global dynamics of vector fields of the form u
u′ = λu+Q(u),
where λ ̸= 0 and Q(u) is a planar homogeneous polynomial vector field. We discuss the number and stability of equilibrium points, both in the plane and in the circle at infinity in the Poicar ́e compactification. We obtain conditions for the existence of a globally attracting poly-cycle, thus extending previous results on the existence of limit cycles. A more detailed analysis is done for symmetric vector fields. This is joint work with Isabel Labouriau and Sofia Castro, University of Porto (Portugal).
Palestra: Geometria por trás dos Movimentos de Rotação e Aplicações
10 de maio, às 03:15 p.m. (Rio de Janeiro local time)
Local: Sala C116 - Bloco C - CT – Instituto de Matemática – UFRJ.
Palestrante: Alejandro Cabrera
Transmissão Online: https://www.youtube.com/watch?v=XjDzBSjfZrA&list=PL38xj5sTODxJ3uXxQS_AR5wyNo-AilI7D
Resumo: Nesta palestra, vamos ver diversos tópicos nos quais a geometria diferencial entra no estudo do movimento de corpos em rotação que mudam sua forma. Começaremos com uma descrição de corpos rígidos em rotação para seguir com casos com deformação. Dentre eles, vamos mencionar o problema do "gato em queda", no qual o gato mexe seu corpo para cair em pé, e o de saltadores olímpicos que tentam maximizar o número de voltas no ar. No final, vamos mencionar linhas de pesquisa relacionadas, incluindo a noção de fases geométricas e diversas aplicações.
