Apresentar o cálculo integral de várias variáveis. Apresentar o teorema de Stokes na linguagem de formas diferenciais com aplicações em Física.
1. INTEGRAL DEFINIDA (2 horas)
Definição de integral para funções de duas ou mais variáveis. Densidade, média e outros conceitos associados ao de integral. Observações sobre métodos numéricos.
2. INTEGRAIS ITERADAS (4 horas)
Princípio de Cavalieri. Integrais iteradas. Cálculo de integrais.
3. MUDANÇAS DE VARIÁVEIS (8 horas)
Revisão do significado geométrico do determinante. Revisitação à fórmula de mudança de variável em dimensão 1. O jacobiano como ¿fator de esticamento¿. Jacobiano em coordenadas polares, cilíndricas e esféricas. Cálculo de integrais.
4. INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE (4 horas)
Revisão de produto vetorial. Elemento de área de superfície parametrizada. Cálculo de integrais.
5. FLUXO (6 horas)
Significado físico do fluxo de um campo de vetores através de uma superfície e definição (para superfícies parametrizadas). Cálculo de integrais. Ângulo sólido.
6. INTEGRAL DE LINHA (6 horas)
Potencial de um campo de vetores. Campos conservativos e equações diferenciais. Energia cinética e trabalho, definição de integral de linha. A forma de variação de ângulo.
7. O TEOREMA DE KELVIN (12 horas)
Equivalência entre existência de potencial e invariância por caminhos. Dedução do teorema de Kelvin, dito de Stokes. O rotacional. O teorema de Green e aplicações: área com sinal limitada por uma curva fechada, teorema fundamental da Álgebra, teorema de Brouwer. O rotacional como velocidade angular.
8. O TEOREMA DA DIVERGÊNCIA (10 horas)
Campos de velocidades. Dedução do teorema da divergência. Divergência como densidadede fluxo. Divergência e taxa de expansão volumétrica. Estudo do campo gravitacional/elétrico.
9. APLICAÇÕES À FÍSICA. EQUAÇÕES A DERIVADAS PARCIAIS (24 horas)
Campo de velocidades de um fluido, equações de Euler. Difusão. Estudo das propriedades do laplaciano. Propriedade da média e princípio do máximo. Fórmula de Poisson. Equações de Maxwell. Leis de conservação e ondas de choque. Sistemas hamiltonianos, invariante integral de Poincaré-Cartan.
10. FORMAS DIFERENCIAIS (10 horas)
Discussão sobre a possibilidade de unificação dos teoremas fundamental do Cálculo, de Kelvin e da divergência. Formas diferenciais e cadeias. A idéia do teorema geral e o conceito de derivada exterior. Questões topológicas subjacentes, comentários sobre os teoremas de de Rham. A recíproca do lema de Poincaré.
90 horas por semestre com 6,0 créditos.
Cálculo Infinitesimal II (MAE 121).
Pré-requisitos: Calculo II.
Docente Responsável: Prof. Stefanella Boatto (lella ARROBA labma . ufrj . br)
Parte Matematica :
1) Noção de modelagem biomatemática. Modelos discreto versus contínuos, determinísticos versus estocásticos. Por que os biólogos necessitam de modelos matemáticos? Limitações dos modelos matemáticos. Porque os matemáticos necessitam de modelos biologicos? Comparando modelos com dados:
a) validação de um modelo
b) Parametrização de um modelo
2) Modelos de uma única espécie:
a) Modelos deterministicos continuos - revisão EDO através a analise de modelos de uma unica especie. (cap. 2 do Weiss), Equação logística, tratamento qualitativo.
b) modelos deterministicos discretos: Equação logística discreta, Beverton-Holt model.
c) modelos estocasticos d) modelos populacionais de Leslie.
3) Modelos de comunidades
a) Competição: Modelo de competição de Lotka Volterra, Modelos discretos.
b) Predação Modelo de presa-predador de Lotka-Volterra, Modelos presa-predador com crescimento logístico e a respostas de tipo Holling.
c) Mutualismo
4) Breve introdução sobre teoría das bifurcações. Bifurcações uni-dimensionais: "saddle-node", "transcritical", "supercritical pitchfork", "subcritical pitchfork". A bifurcação de Hopf.
5) Equações com atraso: Uma introdução
6) Uma brevissima introdução a equacão de difusão e as equações reacão-difusão: Equaçāo logística com difusāo espacial Equações de reação difusão. Ondas viajantes. A equação de Fisher- Kolmogorov.
Exemplo: competição de duas espécies de plantas na floresta amazonica. Soluções autosimilares. Exemplo do estudo da gota de água.
7) Uma Teoria dos jogos com aplicações á dinâmica evolucionaria. Estrategias puras e funções utilidade. Dominância estrita e dominância estrita iterada. Dominância fraca e equilibrio de estrategia fracamente dominante. Equilibrio de Nash. Distribuções de probabilidades e estratégias mistas. Média dos payoffs. Funções de melhor resposta em estatégias mistas. Equilibrio de Nash via otimizaçāo. O Teorema de Nash. "Evolutionary Stable Strategy" (ESS). Dinâmica do replicador. Jogos repetidos (ALLC, TFT, ALLD). O Processo de Moran. Jogos em populações finitas. Uma breve introdução aos jogos de soma zero. sequenciais, cooperativos. Jogos infinitos. Alguns dos exemplos analizados: O dilema do prisoneiro. A batalha dos sexos. O jogo das N-cartas de Le Her. Pedra-Papel-Tisora. "Hawk and 1. Dove". O modelo de duopólio de Cournot.
O pré-requisito é um curso de Cálculo I e, embora auto-contido, é útil ter noções de Probabilidade (ensino médio).
O Público-alvo são alunos do segundo ano de faculdade em diante.
Este é uma Disciplina de introdução à modelagem matemática em finanças. O curso motivará o aluno a querer aprender mais:
Vamos aprender o que são derivativos, contratos financeiros estabelecidos tendo por base algum ativo financeiro (ações por exemplo) e como precificar estes contratos. Para isto vamos desenvolver a Matemática necessária e explorar métodos numéricos.
Docente Responsável: Prof. Marco Cabral (mcabral ARROBA labma.ufrj.br).
Leia mais Comentários Sobre a Bibliografia, que inclui discussão sobre os dois pontos de vista em finanças: utilizando EDP e processos estocásticos.
Trata-se de seminários abordando tópicos avançados em Finanças.
Bibliografia:
Os pré-requisitos são Cálculo I e Cálculo II e Álgebra Linear.
O Público-alvo são alunos do segundo ano de faculdade em diante.
Esta disciplina introduz modelos de fluxos por meios porosos tendo em vista aplicações na indústria de Petróleo. Além disto apresenta métodos numéricos de simulação destes modelos.
Docentes responsáveis: Prof. Flávio Dickstein (flavio ARROBA labma.ufrj.br) e Prof. Paulo Goldfeld (goldfeld ARROBA labma.ufrj.br).
Fundamentals of Numerical Reservoir Simulation, D.W. Peaceman, Elsevier Scient. Publ. Comp., Amsterdam, 1977.
Trata-se de seminários abordando tópicos avançados em Modelagem e Simulação de Reservatórios de Petróleo.
Apresentar ao estudante, a nível introdutório, problemas da física matemática.
A modelagem como simulação imperfeita da realidade. Modelos matemáticos: hipóteses de trabalho e limitações dos modelos. Modelos regidos por equações diferenciais ordinárias. Modelos regidos por equações a derivadas parciais elípticas, parabólicas ou hiperbólicas.
UNIDADE I
Modelos em geral: uma versão imperfeita da realidade.
O que é um modelo matemático? Hipóteses de trabalho e restrições dos modelos. O valor e as limitações dos testes praticados nos modelos. Quando um modelo é considerado ¿confiável¿ ?. Modelos empíricos e modelos teóricos. O que é um paradoxo e qual a sua função? O paradoxo de Galileu e o paradoxo de Einstein.
UNIDADE II
Modelos que podem ser formulados com o auxílio de equações diferenciais ordinárias.
A queda de um corpo sob ação da gravidade, suposta constante. A influência das forças de atrito. Diferentes aproximações para o caso da gravidade dependente da posição. Satélites geo-estacionários. O lançamento de um foguete terra-ar. Movimentos oscilatórios em meios elásticos de massa desprezível (o caso da mola). Oscilações em um meio viscoso. Movimento em três dimensões. A influência de um campo magnético sobre partículas com carga elétrica e suas conseqüências. Aplicações: o espectrógrafo de massas.
UNIDADE III
Modelos em uma dimensão que incorporam duas variáveis independentes.
Oscilações transversais e longitudinais (equações hiperbólicas). Dedução da equação da onda. Fórmula de para um meio infinito. Análise do perfil e da lei de movimento no caso de deformações e de distribuições iniciais de velocidade espacialmente localizadas. O meio semi-infinito, condições de fronteira. Oscilações em uma corda finita. O método de separação de variáveis. O problema de Dirichlet e o problema de Neumann. Freqüências naturais. A equação não homogênea e o fenômeno da ressonância. Introdução à delta de Dirac.
UNIDADE IV
Problemas físicos que conduzem a equações do tipo parabólico.
Dedução da equação do calor e da difusão. Formulação do problema com fronteiras e o método de separação de variáveis. A função de Green.
UNIDADE V
Modelos do Micro-mundo.
Postulados e fenômenos experimentais. Uma introdução à Análise Funcional: operadores hermiteanos e sua função na Mecânica Quântica. O problema de autovalores e autovetores. A equação de Schrödinger. Campos conservativos. Separação de variáveis e a Equação Estacionária de Schrödinger (uma equação elíptica). Abordagem do problema dependente do tempo.
60 horas por semestre com 4,0 créditos.
Álgebra linear II (MAE 125) e Equações Diferenciais (MAE 127).
