Aprender como modelar, resolver e interpretar as soluções de fenômenos regidos por EDOs (equações diferenciais ordinárias).
Equações de 1a ordem e aplicações; Equação Linear de 2a ordem e aplicações; Introdução ao estudo qualitativo de sistemas dinâmicos no plano.
UNIDADE I
Equações diferenciais de 1a ordem
Modelos Simples; Equações separáveis; Equações lineares de primeira ordem; Equações exatas; aplicações
UNIDADE II
Propriedades gerais das equações
Aspectos geométricos, teoremas de existência de soluções, unicidade e dependência contínua
UNIDADE III
Equações diferenciais lineares de 2a ordem.
Soluções explícitas das equações homogêneas; método de variação de parâmetros e método de coeficientes a determinar; aplicações
Equações diferenciais lineares de 2a ordem com coeficientes variáveis
UNIDADE V
Sistemas Autônomos no plano
Pontos de Equilíbrio; Classificação; Aplicações
60 horas por semestre com 4,0 créditos.
Cálculo Infinitesimal II (MAE 121) e Álgebra Linear II (MAE 125).
4 créditos
60h
Teórica: 45h
Prática: 15h
MAB121 – Computação I
MAC123 – Cálculo Diferencial e Integral II
Erros; Zeros de Funções; Resolução de Sistemas Lineares; Interpolação; Integração Numérica; Equações Diferenciais Ordinárias.
Objetivos gerais: Capacitar o aluno a implementar e utilizar algoritmos necessários para a resolução computacional de problemas específicos do cálculo diferencial e integral, trabalhosos ou impossíveis de resolver com as ferramentas teóricas.
UNIDADE I - Erros
Conversão de números inteiros e fracionários decimal binário; Aritmética de Ponto Flutuante; Análise de erros nas operações aritmética de ponto flutuante.
UNIDADE II – Zeros de Funções
Método de Bisseção; Método de Falsa Posição; Método Interativo Linear; Método de Newton – Raphson; Método da Secante, Método Especial para raízes de equações polinomiais.
UNIDADE III – Resolução de Sistemas Lineares
Métodos Diretos: Métodos de Eliminação de Gauss, Fatoração LU;
Métodos Iterativos: Método Iterativo de Gauss – Jacobi, Método Iterativo de Gauss – Seidel.
UNIDADE IV – Interpolação
Interpolação Polinomial: Forma de Lagrange para o polinômio interpolador, Forma de Newton para o polinômio interpolador, Forma de Newton-Gregory para o polinômio interpolador; Estudo do Erro na interpolação;
UNIDADE V – Integração Numérica
Fórmula de Newton-Cotes; Regra dos Trapézios ; Regra de Simpson; Estudo dos Erros
UNIDADE VI – Soluções Numéricas de Equações Diferenciais Ordinárias
Métodos de passo simples: Método de Série de Taulor, Métdo de Euler , Método de Euler Modificado, Método de Runge – Kutta de 4.º ordem, Métodos de previsão – correção.
Provas e testes, respeitando o critério do CCMN.
60 horas
Teórica: 45 horas
Prática: 15 horas
4 créditos
Ementa: Polinômios: polinômios com coeficientes em Q, R ou C. Algoritmo de divisão, máximo divisor comum, polinômios irredutíveis, teorema de fatoração única. Critério de Eisenstein, funções racionais, decomposição em frações parciais. Raízes de Polinômios: determinação das raízes racionais de um polinômio em Z/[X], teorema fundamental da álgebra.
Apresentar o cálculo integral de várias variáveis. Apresentar o teorema de Stokes na linguagem de formas diferenciais com aplicações em Física.
1. INTEGRAL DEFINIDA (2 horas)
Definição de integral para funções de duas ou mais variáveis. Densidade, média e outros conceitos associados ao de integral. Observações sobre métodos numéricos.
2. INTEGRAIS ITERADAS (4 horas)
Princípio de Cavalieri. Integrais iteradas. Cálculo de integrais.
3. MUDANÇAS DE VARIÁVEIS (8 horas)
Revisão do significado geométrico do determinante. Revisitação à fórmula de mudança de variável em dimensão 1. O jacobiano como ¿fator de esticamento¿. Jacobiano em coordenadas polares, cilíndricas e esféricas. Cálculo de integrais.
4. INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE (4 horas)
Revisão de produto vetorial. Elemento de área de superfície parametrizada. Cálculo de integrais.
5. FLUXO (6 horas)
Significado físico do fluxo de um campo de vetores através de uma superfície e definição (para superfícies parametrizadas). Cálculo de integrais. Ângulo sólido.
6. INTEGRAL DE LINHA (6 horas)
Potencial de um campo de vetores. Campos conservativos e equações diferenciais. Energia cinética e trabalho, definição de integral de linha. A forma de variação de ângulo.
7. O TEOREMA DE KELVIN (12 horas)
Equivalência entre existência de potencial e invariância por caminhos. Dedução do teorema de Kelvin, dito de Stokes. O rotacional. O teorema de Green e aplicações: área com sinal limitada por uma curva fechada, teorema fundamental da Álgebra, teorema de Brouwer. O rotacional como velocidade angular.
8. O TEOREMA DA DIVERGÊNCIA (10 horas)
Campos de velocidades. Dedução do teorema da divergência. Divergência como densidadede fluxo. Divergência e taxa de expansão volumétrica. Estudo do campo gravitacional/elétrico.
9. APLICAÇÕES À FÍSICA. EQUAÇÕES A DERIVADAS PARCIAIS (24 horas)
Campo de velocidades de um fluido, equações de Euler. Difusão. Estudo das propriedades do laplaciano. Propriedade da média e princípio do máximo. Fórmula de Poisson. Equações de Maxwell. Leis de conservação e ondas de choque. Sistemas hamiltonianos, invariante integral de Poincaré-Cartan.
10. FORMAS DIFERENCIAIS (10 horas)
Discussão sobre a possibilidade de unificação dos teoremas fundamental do Cálculo, de Kelvin e da divergência. Formas diferenciais e cadeias. A idéia do teorema geral e o conceito de derivada exterior. Questões topológicas subjacentes, comentários sobre os teoremas de de Rham. A recíproca do lema de Poincaré.
90 horas por semestre com 6,0 créditos.
Cálculo Infinitesimal II (MAE 121).
Capacitar o aluno a resolver problemas envolvendo sistemas de equações lineares, transformações lineares, cálculo matricial, cálculo vetorial, autovalores e autovetores.
Sistemas de equações lineares e Eliminação Gaussiana. Matrizes e determinante. Espaços vetoriais Euclidianos. Geometria dos espaços vetoriais de dimensão finita. Transformações lineares. Espaços vetoriais com produto interno. Ortogonalidade e mínimos quadrados. Autovalores e autovetores. Teorema espectral. Aplicações à solução de EDOs e em Geometria Euclidiana.
UNIDADE I
Sistemas de equações lineares e Eliminação Gaussiana, Matrizes e determinante.
UNIDADE II
Espaços vetoriais Euclidianos; independência e dependência linear, base, dimensão
UNIDADE III
Transformações lineares; Geometria dos espaços vetoriais de dimensão finita.
UNIDADE IV
Espaços vetoriais com produto interno; bases ortonormais, processo de Gram-Schmidt, Ortogonalidade e mínimos quadrados; Mudança de Base
UNIDADE V
Autovalores e autovetores; Diagonalização; Teorema Espectral
UNIDADE VI
Transformações Lineares Arbitrárias; Núcleo e Imagem
UNIDADE VII
Aplicações à solução de EDOs; Diagonalização de Formas Quadráticas: seções cônicas
60 horas por semestre com 4,0 créditos.
Nenhum.
