I.INTRODUÇÃO
1.ESPAÇOS DE FUNÇÕES (2 horas)
Tipos de convergência de seqüências de funções: simples (qtp), uniforme, em média (L1, L2, Lp). Normas correspondentes. Inexistência de norma para a convergência simples. Teorema de Dini.
2.TEOREMA DE BAIRE (6 horas)
Exemplo de função contínua mas não diferenciável. Teorema de Baire e conseqüências. Densidade das funções não deriváveis entre as contínuas.
3.DIMENSÃO INFINITA (2 horas)
Existência de operadores lineares descontínuos. Não compacidade da bola unitária em espaços de dimensão infinita.
II.CONVERGÊNCIA UNIFORME
4.ESPAÇOS Ck (2 horas)
Norma Ck e completude de Ck.
5.APROXIMAÇÃO (4 horas)
Aproximações via convolução. Teorema de aproximação de Weierstrass.
6.COMPACIDADE (4 horas)
Eqüicontinuidade e o teorema de Arzelà-Ascoli. Teorema de existência de soluções de equações diferenciais ordinárias. Imersão compacta de Ck+1 em Ck.
III.CONVERGÊNCIA EM MÉDIA
Norma Lp e completude de Lp. Densidade das funções contínuas em Lp.
Espaço L2. Sistemas ortonormais completos. Teorema de Fejer. Convergência L2 das séries de Fourier. Convergência pontual. Espaços Hp. Imersão contínua de Hk+1 em Ck. Derivação termo a termo de séries de Fourier. Desigualdade de Poincaré-Friedrichs. Teorema de Fréchet-Kolmogórov. Imersão compacta de H1 em L2.
IV.TRANSFORMADAS
9.TRANSFORMADAS (4 horas)
Séries de potências e de Fourier como transformadas. Transformada de Laplace como generalização de séries de potências. Transformada de Fourier. Comportamento do operador de derivação sob as diversas transformadas.
10.TRANSFORMADA DE FOURIER (8 horas)
Transformada de Fourier de funções de decaimento rápido. Densidade das funções de decaimento rápido em L2(R), teorema de Plancherel.
60 horas por semestre com 4,0 créditos
Análise Real I (MAE240).
Inferência indutiva. Distribuições amostrais. Estatísticas de ordem. Propriedades dos estimadores. Métodos de estimação pontual. Procedimentos Bayesianos. Estimação por intervalo e por região de confiança. Testes de Hipóteses.
Habilitar o aluno a organizar axiomaticamente o material apresentado em cálculo diferencial de uma variável .
Resumo: Construção dos números reais; Seqüências e séries numéricas; Topologia da reta; Limite e continuidade; Derivadas; Integral de Riemann.
UNIDADE I
Enumerabilidade; conceito de supremo e de ínfimo; construção dos números reais.
UNIDADE II
Seqüências e séries numéricas: noção de limite, seqüência de Cauchy, teorema de Bolzano-Weierstrass, critérios de convergência.
UNIDADE III
Topologia da reta: caracterização dos subconjuntos compactos e dos subconjuntos conexos.
UNIDADE IV
Limite e continuidade de funções reais de uma variável real e suas relações com a topologia da reta; Teoremas de Heine e de Weierstrass.
UNIDADE V
O conceito de derivada; Teorema do Valor Médio; as classes C k ; fórmula de Taylor; funções analíticas na reta.
UNIDADE VI
Integral de Riemann própria e imprópria; Teorema Fundamental do Cálculo; Teorema do Valor Médio para Integrais.
90 horas por semestre com 6,0 créditos.
Álgebra I (MAA114), Cálculo Infinitesimal I (MAE 111).
5 créditos
90h
Teórica: 60h
Prática: 30h
Mac123 - Cálculo II (Concomitante)
Probabilidade. Análise Combinatória. Probabilidade condicional. Independência. Variáveis aleatórias discretas e contínuas. Esperança e variância de variáveis aleatórias. Variáveis aleatórias com distribuição conjunta.
Habilitar o aluno a sintetizar informações que são ministradas com vistas à elaboração de conceitos mais complexos; resolver problemas simples com a necessária interveniência do raciocínio probabilístico.
UNIDADE I - PROBABILIDADE: Interpretações de Probabilidade; Experimentos e eventos;
Definição de probabilidade; Propriedades da probabilidade; Espaços amostrais finitos – Métodos de Contagem; Probabilidade da União Finita de Eventos.
UNIDADE II – PROBABILIDADE CONDICIONAL: Definição de Probabilidade Condicional;
Independência; Teorema de Bayes; Cadeias de Markov: primeiras noções.
UNIDADE III – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS: Definição; Função de Distribuição e Propriedades; Tipos de Variáveis Aleatórias.
UNIDADE IV – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS: Definição e exemplos; Função de Probabilidade; Valor esperado e variância de uma variável aleatória discreta; Propriedades do valor esperado e da variância; Principais modelos discretos: definição e propriedades- Bernoulli e Binomial, Geométrico e Binomial Negativo, Hipergeométrico, Poisson.
UNIDADE V – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS: Definição;Função de densidade de probabilidade; Valor esperado e variância; Propriedades do valor esperado e da variância;
Principais modelos contínuos: definição e propriedades- Uniforme, Normal, Exponencial,
Gama, Beta, Outros modelos contínuos, A distribuição de uma função de uma variável aleatória.
UNIDADE VI – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS COM DISTRIBUIÇÃO CONJUNTA: Duas variáveis aleatórias discretas: função de probabilidade conjunta, funções de probabilidade marginais e função de probabilidade condicional; Duas variáveis aleatórias contínuas: densidade conjunta, densidades marginais e condicionais; Extensão para o caso n-variado; Variáveis aleatórias independentes; Covariância e correlação.
UNIDADE VII – A FUNÇÃO GERATRIZ DE MOMENTOS: Função geratriz de momentos: definição e propriedades; Somas de variáveis aleatórias independentes via função geratriz de momentos; Função geratriz de momentos conjunta.
UNIDADE VIII - TEOREMAS LIMITES – NOÇÕES BÁSICAS: Desigualdade de Tchebyshev; Lei dos Grandes Números; Teorema Central do Limite: enunciado e exemplos de aplicações.
Provas, testes e listas de exercícios, respeitando o critério do CCMN
Esta disciplina aprofunda os conhecimentos de Álgebra Linear II (MAE 125).
Trata-se de curso preparatório para o exame de qualificação (que funciona como exame de admissão) noMestrado em Matemática Aplicada. É uma disciplina espelho com a disciplina de mestrado Álgebra Linear (MAE 709).
O outro curso necessário para o exame é Cálculo Avançado I (MAE 351), que possui como disciplina espelho de mestrado Cálculo Avançado I (MAE 701).
60 horas por semestre com 4,0 créditos.
Recomenda-se Análise Real I (MAE 240), Álgebra I (MAA114) e Álgebra Linear (II MAE 125).
