Ementas das Disciplinas
MAA236 - Teoria de Grupos
Pré-requisitos: MAA116 - Fundamentos de Matemática
Carga Horária: 60h = 45h teóricas + 15h práticas
Créditos: 4
Ementa: Grupos, subgrupos, anéis e corpos; Relações de equivalência; Grupos finitos e Teorema de Lagrange; Grupos cíclicos e abelianos; Grupo quociente; Subgrupos normais; Homomorfismos; Os teoremas de isomorfismo; Grupos de permutações; Grupo alternado e dihedral; Aplicações: classificação de sólidos.
Objetivos Gerais: Introduzir as estruturas algébricas básicas: grupos, anéis e corpos. Introduzir conceitos básicos da teoria
de grupos: subgrupos, grupos normais, quociente, homomorfismos, grupos finitos, grupos de simetria.
Aplicar a teoria desenvolvida para classificar sólidos platônicos.
Conteúdo Programático:
- Definições de grupo, subgrupo, anel e corpo.
- Exemplos de grupos: inteiros, racionais, reais, matrizes com entradas num anel, grupos
de permutações, unidades de um anel, o conjunto das classes de equivalência módulo n
(função de Euler).
- Definição e exemplos de relações de equivalência, classes de equivalência.
- Grupos finitos, exemplos, Teorema de Lagrange e aplicações: Pequeno Teorema de Fermat e
Teorema de Euler.
- Subgrupos do grupo adiditvo dos números inteiros, definição de grupos abelianos, grupos
cíclicos, subgrupos cíclicos.
- Definição de grupo quociente e exemplos.
- Definição e exemplos de subgrupos normais. Homomorfismo de grupos.
- Correspondência entre subgrupos via homomorfismos; Os teoremas de isomorfismo.
- O grupo dos quatérnios, grupos diedrais; Grupos de permutações e alternado: decomposição
em ciclos, sinal e geradores.
- Teorema de Cayley; Aplicação: classificação de sólidos platônicos.
Bibliografia:
- Cohn, P., Algebra (vol 1.)
- Dummit, D. S. & Richard M. Foote, Abstract Algebra.
- Garcia, A. & Lequain Y., Elementos de Álgebra.
Bibliografia complementar:
- Artin, M. Algebra, Prentice Hall.
- Gonçalves, A., Introdução a Álgebra.
- Hefez, A., Curso de Àlgebra, vol 1.
Critério de Avaliação: Critério do CCMN.