Pré-requisitos: MAA 233 - Álgebra II, MAC 233 - Cálculo III.

Carga Horária: 90h = 70h teóricas + 20h práticas

Créditos: 5

Objetivos Gerais: Dar uma visão de conjunto da teoria elementar das funções analíticas de uma variável complexa e de suas aplicações, buscando proporcionar aos estudantes uma compreensão desta teoria e de suas técnicas.

Critério de Avaliação: Critérios do CCMN.

Ementa: Números Complexos. Funções Analíticas; Funções elementares. Integrais. Séries de potências. Resíduos e polos. Transformações por funções elementares.

01. Números Complexos: Definição, operações e propriedades. Representação geométrica. Números complexos conjugados. Valor absoluto. Forma polar. Produtos, potências e quocientes, Fórmula de Moivre. Extração de raízes. Topologia do plano complexo.

02. Funções Analíticas: Função de uma variável complexa. Limites. Continuidade. Derivadas: condições de Cauchy-Riemann e condições suficientes de derivabilidade. Funções analíticas. Funções harmônicas. Funções Elementares: A função exponencial. Funções trigonométricas e hiperbólicas. A função logarítmica. Expoentes complexos. Funções trigonométricas inversas.

03. Integrais: Integrais indefinidas. Caminhos e integrais curvelíneas. O teorema de Cauchy-Goursat. A Fórmula Integral de Cauchy. Derivadas de funções analíticas. O Teorema de Liouville. O Teorema do Módulo Máximo. Integrais indefinidas. O Teorema de Morera.

04. Séries de Potências: Noções básicas sobre sequências e séries complexas. Séries de Taylor e de Maclaurin. Série de Laurent. Propriedades de séries de potências. Convergência uniforme. Integração e derivação de séries de potências. Unicidade de representação. Zeros de funções analíticas.

04. Resíduos e Polos: Resíduos. O Teorema dos resíduos. Polos. Quocientes de funções analíticas Aplicações: Cálculo de integrais através de resíduos. Integração em torno de um ponto de ramificação.

04. Transformações por Funções Elementares: Funções lineares. As funções z^2 , 1/z , z^{1/2}, exp(z) e sen(z). Ponto no infinito. Transformações lineares fracionárias.

1. Churchill, R.V. - Variáveis Complexas e suas aplicações - editora da USP.
2. Gamelin, T.W. - Complex Analysis – Springer.
3. Hille, E. - Analytic Function Theory, Vol.I - CHELSEA Publ. Co.
4. Honig, C.H. - Introdução às Funções de uma Variável Complexa - Publicação do IME/USP.
5. Howie, M.H. - Complex Analysis - Springer.
6. Soares, M. - Cálculo em uma Variável Complexa.