Séries de Taylor


Você já se perguntou como os computadores e as calculadoras científicas deteminam os valores das funções científicas - tipo seno, cosseno, arcotangente, etc? As séries de Taylor apresentam uma técnica simples e poderosa para determinar os valores de várias funções. Obviamente, os valores determinados pelas séries de Taylor são apenas aproximados, mas isso já é suficiente para todas as aplicações imagináveis.

Nessa atividade, vamos estudar como algumas funções científicas são aproximadas por suas séries de Taylor. Em particular, vamos estudar como o comportamento dessas séries muda quando passamos de dentro para fora do intervalo de convergência.

Escolha primeiro a função que você quer estudar e a página lhe informá sua série de Taylor em torno de zero assim como o raio de convergência e o intervalo de convergência dessa série.

Depois, escolha o número \((M+1)\) de termos dessa série da Taylor que você quer somar e a página lhe mostrará o gráfico da função - em preto - junto com o gráfico da \(M\)-ésima soma parcial - em verde. Além disso, no caso em que a série de Taylor tenha raio de convergência finita, a página lhe mostrará - em vermelho - as duas extremidades do intervalo de convergência.

Fique atento ao comportamento das somas parciais dentro e fora do intervalo de convergência! Veja como, dentro do intervalo de convergência, o gráfico da soma parcial se aproxima cada vez mais do gráfico da função com o incremento do número de termos que são somados. Portanto, fora do intervalo de convergência, a situação se inverte, e - como vemos mais claramente no caso do arcotangente - o gráfico da soma parcial se afasta cada vez mais do gráfico da função com o incremento do número de termos que são somados!

Escolha aqui a função que você quer estudar:

A função é



A série de Taylor dessa função em torno de zero é



Lembramos que a \(M\)-ésima soma parcial dessa série é a soma dos seus primeiros \((M+1)\)-ésimo termos, isto é



O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

Escolha aqui o número \((M+1)\) de termos que você quer somar:

Os gráficos da função (curva preta) e da \(M\)-ésima soma parcial (curva verde) são: