Convergência de Séries


Você lembra como vários números chave - tipo \(\pi\), \(e\) e \(\text{log}(2)\) - não podem ser escritos exatamente? Agora sabemos como resolver esse problema, pois as séries infinitas nos permitem calcular aproximadamente esses números - e vários outros! - com tantas casas decimais quanto quisermos. Assim, a técnica de séries infinitas se revela ser uma excelente ferramenta para quem tem que fazer contas exatas com esses números.

Nessa página, vamos estudar as séries infinitas através de alguns exemplos. Escolha primeiro a série que você quer estudar, e você vai aprender qual é o m-ésimo termo, qual é a M-ésima soma parcial, e qual é a soma da série que - lembramos - é por definição igual ao limite das somas parciais.

Depois, escolha o número de casas decimais que você quer, e a tabela lhe mostrará os 25 primeiros termos, as 25 primeiras somas parciais, e as diferenças entre as somas parciais e o limite, isto é, os erros. Fique atento ao número de termos que têm que ser somados para o erro ser igual a zero até o desejado número de casas decimais! Veja como o erro às vezes diminui rapidamente, e outras vezes não. Em termos técnicos, dizemos que a taxa de convergência de uma série dada pode ser alta ou baixa.

Enfim, quando trabalhamos com séries, é fundamental não confundir o m-ésimo termo e a M-ésima soma parcial, que é a soma dos primeiros M-ésimos termos.

Escolha aqui a série :

série



O m-ésimo termo a(m) é



A M-ésima soma parcial S(M) - que é a soma dos primeiros m-ésimos termos - é



A soma da série - isto é, o limite da sequência de somas parciais - é



Escolha aqui o número de casas decimais :

m,M
a(m)
S(M)
Limite
Erro
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25